数列の隣接3項間漸化式の解法：特性方程式を使わずに階差数列を使う方法

数列の隣接3項間漸化式は、特性方程式を使わずに階差数列を使って解くことが可能です。この方法を用いることで、漸化式を解く際により直感的に進めることができます。ここではその解法のステップを解説し、証明を示します。

1. 隣接3項間漸化式とは

隣接3項間漸化式は、一般的に次のように表されます。

y(n+3) = a * y(n+2) + b * y(n+1) + c * y(n) といった形です。ここで、y(n)はn番目の項、a, b, cは定数です。

階差数列を使って解く方法では、漸化式を階差を取ることで解くことができます。まず、元の数列における各項の階差を計算し、その階差数列に基づいて解法を進めていきます。

具体的には、まず元の漸化式に基づき、y(n+3) – y(n+2), y(n+2) – y(n+1), y(n+1) – y(n)といった階差を取ります。そして、それらの階差を組み合わせて新たな漸化式を作り出し、これを解くことで元の数列の解を求めることができます。

以下は階差数列を使った解法の一例です。

この方法を使うことで、特性方程式を用いずに漸化式を解くことができます。

例えば、漸化式 y(n+3) = 2 * y(n+2) + 3 * y(n+1) – y(n) の場合を考えます。まずは階差数列を求め、その後に新たな漸化式を得て、最終的に解を導きます。この手法を使えば、特性方程式を使わずに解を得ることができます。

隣接3項間漸化式は、特性方程式を使わずに階差数列を使って解くことが可能です。この方法をマスターすることで、より直感的に漸化式を解くことができ、数学の理解が深まります。