区間[0,2]でのf(x)のフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数の求め方

この問題では、区間[0,2]におけるf(x)のフーリエ級数（余弦級数および正弦級数）を求めます。まず、与えられたf(x)の定義を整理し、フーリエ級数を求めるためのステップを順を追って説明します。

1. 与えられた関数の確認

与えられた関数f(x)は、区間[0,2]で以下のように定義されています。

この関数は、区間[0,2]で分かれている線形関数です。

フーリエ余弦級数は、次の式を使って求めます。

 a0 = (1/2) * ∫[0,2] f(x) dx

まずa0を計算します。a0はf(x)の平均値に相当します。次に、a_n（n ≧ 1）の係数を求めます。

 an = ∫[0,2] f(x) * cos(nπx/2) dx

この積分を区間ごとに分けて計算します。

フーリエ正弦級数は、次の式で求めます。

 bn = ∫[0,2] f(x) * sin(nπx/2) dx

同様に、この積分も区間ごとに分けて計算します。

フーリエ級数の係数a_n、b_nを求めると、f(x)のフーリエ級数展開が得られます。これらの計算を通して、フーリエ級数によるf(x)の近似を得ることができます。

フーリエ級数は、与えられた区間における関数の振る舞いを近似するために非常に有用です。フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を用いて、関数f(x)を表現する方法をしっかり理解することで、数学的な解析力を高めることができます。