f(x) = [e^{-tx} – e^{-st}]/x (0 < t < s) の単調減少性の確認方法

関数f(x) = [e^{-tx} – e^{-st}]/x (0 < t < s) が単調減少するかどうかを調べる方法を解説します。単調減少性を確認するためには、まずその微分を求めることが必要です。

1. 関数の微分を求める

まず、関数f(x)の微分を求めます。f(x) = [e^{-tx} – e^{-st}]/x という関数が与えられており、xに関して微分を行います。

f'(x) = d/dx [e^{-tx} - e^{-st}]/x

ここで、分子と分母に分けて微分を行うことになります。

2. 微分の結果と単調性の判断

微分後、f'(x)が0より小さいかどうかを調べることで、関数が単調減少しているか単調増加しているかを確認できます。

微分結果に基づき、f'(x) < 0 であれば、関数f(x)は単調減少していると言えます。

3. 具体的な計算例

例えば、t = 1, s = 2の場合に具体的に計算してみましょう。微分を求めた結果、f'(x)が0より小さいことが確認できれば、f(x)が単調減少することがわかります。

4. まとめ

f(x) = [e^{-tx} – e^{-st}]/x (0 < t < s) の単調減少性を確認するためには、まずその微分を求め、f'(x)が負であることを確認することが必要です。これにより、与えられた関数が単調減少するかどうかを判断できます。