数学Iの問題の解法：不等式の定数aの範囲の求め方

この質問では、数学Iの問題における不等式の解法に関して、定数aの範囲を求める方法について解説します。問題の内容は、次の2つの不等式を満たす整数xがちょうど3個になるような定数aの範囲を求めるというものです。

1. 問題の整理

与えられた不等式は以下の2つです。

まず、これらの不等式を解き、どのようにしてaの範囲を求めるのかを見ていきます。

最初の不等式「3(2x+11) > 2(4-3x) + 1」を展開して整理します。

3(2x+11) > 2(4-3x) + 1 を展開すると、6x + 33 > 8 – 6x + 1 となり、これをさらに整理します。

6x + 33 > 9 – 6x となり、両辺に6xを加えて、12x + 33 > 9 になります。さらに、両辺から33を引くと、12x > -24 となります。最後に、両辺を12で割ると、x > -2 となります。

次に、「2(2x + a) < 3x + 2」を展開して整理します。

2(2x + a) < 3x + 2 を展開すると、4x + 2a < 3x + 2 となります。これを整理すると、4x - 3x < 2 - 2a となり、x < 2 - 2a という不等式が得られます。

xの値が整数であるためには、1つ目の不等式「x > -2」と2つ目の不等式「x < 2 - 2a」が両方成立する必要があります。整数xがちょうど3個になるようなaの範囲を求めます。

2つの不等式を合わせて考えると、xの値は -2 < x < 2 - 2a となります。この範囲においてxが整数であるためには、xの範囲が3つの整数を含む必要があります。そのため、0≦a < 2 の範囲でaを取ることが求められます。

問題で求められている範囲は、xがちょうど3個の整数になる範囲です。計算の結果、aの範囲は0≦a < 2であることがわかります。ここで、aが0以上であることが必要な理由は、xの値が整数であり、かつ範囲が3つの整数を含むためには、aが0以上でないと範囲が狭くなりすぎるからです。

この問題では、与えられた2つの不等式を解いた後、xの整数解がちょうど3個となるようなaの範囲を求めました。最終的に、aの範囲は0≦a < 2という結果になります。整数解が3個であることを保証するために、この範囲にaを取ることが必要です。