この問題は、与えられた定点A(a, 0), B(0, b) に対して、P(x, 0)という動点を移動させることで、AP + 2BPを最小化するための問題です。解法のポイントは、距離の合計を最小化するための最適な点Pを求めることです。
1. 問題の理解
まず、与えられた条件は以下の通りです。
- A(a, 0) と B(0, b) は定点であり、
- P(x, 0) は x 軸上の動点です。
- 目的は、AP + 2BP を最小化する点Pの位置を求めることです。
2. 距離の計算
距離は、2点間の距離の公式を用いて計算できます。点PからAへの距離は、√((x – a)^2) = |x – a| です。また、点PからBへの距離は、√(x^2 + b^2) です。
よって、AP + 2BP = |x – a| + 2√(x^2 + b^2) となります。
3. 最小化問題のアプローチ
この式を最小化するためには、微分を用いて最適なxの値を求めます。
最小化するために、AP + 2BP = |x – a| + 2√(x^2 + b^2) を x について微分し、その結果を使って最小値を求めます。
4. 解の導出
微分計算を進めていくと、x = a/3 という結果が得られます。したがって、最適な点Pの位置は x = a/3 です。この位置で、AP + 2BP の合計が最小化されます。
まとめ
この問題では、距離を最小化するための微分法を使って解を導きました。AP + 2BP の最小化のためには、点Pは x = a/3 に位置することが求められます。
コメント