数列{An}の一般項の求め方：(n+1)(n+2)(n+3)An+1 = n(n+1)(n+2)An - 1

与えられた数列の再帰関係「(n+1)(n+2)(n+3)An+1 = n(n+1)(n+2)An – 1」を基に、数列{An}の一般項を求める方法について解説します。このような再帰関係の問題は、数列の構造を理解し、一般項を導き出すために重要なテクニックを学ぶ良い機会です。

再帰関係の理解

再帰関係は、ある項が前の項を使って表現される数列の性質です。今回の再帰関係は、An+1とAnの間に関係式があり、nに依存する項があります。再帰関係を解くためには、式を整理して一般項を求める方法を考えます。

まず、再帰関係を再確認しましょう。与えられた式は、(n+1)(n+2)(n+3)An+1 = n(n+1)(n+2)An – 1です。ここで、An+1とAnの関係を解くために、nを変化させていくことが求められます。

再帰関係を解くためには、まず式をAn+1に関する形に変形することが必要です。与えられた式を、An+1 = (n(n+1)(n+2)An – 1) / ((n+1)(n+2)(n+3)) のように分解できます。

このように変形することで、数列の各項を簡単に計算するための手順を理解することができます。次に、数列の具体的な項を計算しながら一般項を求めていきます。

数列の一般項を求めるには、まず初項を定め、その後の項を再帰的に計算していきます。ここで、初項A0を知っていると仮定して、次にA1、A2などを順に計算していきます。

例えば、初項A0を与えられた場合、この再帰関係を用いて次の項A1、A2、A3…を計算することができます。この過程を通じて、数列のパターンや一般項が明らかになります。

数列の一般項を導き出すためには、再帰関係を適用し続ける必要があります。多くの場合、数列の一般項はあるパターンを見つけ出し、そのパターンに基づいて式を表現できます。

実際に数列を計算していくと、Anの一般項がどのように構成されるかが見えてきます。このような解法を使って、与えられた再帰関係から数列の一般項を効率的に求めることができます。

再帰関係を使って数列の一般項を求めるためには、まず与えられた再帰関係を整理し、An+1を解く形に変形します。その後、数列の初項から順に項を計算し、パターンを見つけることで一般項を導き出します。

このような方法を使うことで、複雑な再帰関係を解き、数列の一般項を求めることが可能になります。数列の問題に取り組む際は、再帰関係をうまく扱うことが重要です。