不等式の解法：x^2 + (2-a)x – 2a ≦ 0 の解法と答えの矛盾について

高校1年生の数学で出てきた不等式「x^2 + (2-a)x – 2a ≦ 0」の解き方について解説します。この問題を解くとき、答えが「a < -2 のとき a ≦ x ≦ -2」「a = -2 のとき x = -2」「-2 < a のとき -2 ≦ x ≦ a」となりますが、この答えが矛盾しているように見える理由についても説明します。

1. 不等式の整理

最初に、この不等式「x^2 + (2-a)x – 2a ≦ 0」を整理してみましょう。まず、xに関する2次不等式です。xの係数や定数項を適切に計算することで、解の範囲を求めることができます。この式はaの値によって解の範囲が変わるので、aの値を固定して式を解く必要があります。

2. 各aに対する解の範囲

具体的に、aの値によって解がどのように変化するかを見ていきます。

• a < -2 のとき：この場合、xの範囲は「a ≦ x ≦ -2」となり、xは-2より大きく、a以下であることがわかります。
• a = -2 のとき：ここでは、xがちょうど-2になるため、x = -2と答えになります。
• -2 < a のとき：この場合、xの範囲は「-2 ≦ x ≦ a」となり、xは-2以上でa以下になります。

3. 矛盾の理由

質問者が感じている矛盾について考えてみましょう。実際、a < -2の場合にa ≦ x ≦ -2とすることには矛盾がないことがわかります。これは、aが-2より小さい場合にxが-2以下であることを示しているからです。矛盾がない理由は、xが不等式の範囲内で適切に解釈されているからです。

4. 解の区別と理解

この問題を解く際、aの値に基づく解の範囲をしっかりと理解することが重要です。具体的には、aが-2以下である場合とそれより大きい場合でxの範囲が異なることに注意が必要です。また、解を求める過程での計算ミスを防ぐために、式の整理と解の確認を繰り返し行うことが大切です。

5. まとめ

「x^2 + (2-a)x – 2a ≦ 0」の問題では、aの値に応じて解の範囲が異なりますが、それぞれの解法に矛盾はなく、正しい理解に基づいて解ける問題です。問題を解く際に、aの値がどのようにxに影響を与えるのかを理解することが大切です。