不等式 (x+y+z)^2 ≦ a(x^2+y^2+z^2) の最小値の求め方

今回は、任意の実数x, y, zに対し、与えられた不等式 (x+y+z)^2 ≦ a(x^2+y^2+z^2) が常に成り立つような定数aの最小値を求める問題について解説します。

問題の理解

不等式 (x+y+z)^2 ≦ a(x^2+y^2+z^2) が成り立つための最小の定数aを求める問題です。この問題は、x, y, z の値に関わらず不等式が常に成り立つような定数aを見つけることが求められています。

まず、(x + y + z)^2 を展開します。展開すると以下のようになります。

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

次に、右辺 a(x^2 + y^2 + z^2) を展開して、両辺の構造を比べることになります。右辺は単純に x^2, y^2, z^2 の項が含まれているだけです。

不等式が成り立つためには、左辺 (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz) が右辺 a(x^2 + y^2 + z^2) 以下でなければなりません。これを成り立たせるためには、係数aが適切な値である必要があります。

特に、a が大きすぎると不等式が成り立たなくなりますので、aの最小値を求めることが必要です。ここで重要なのは、x, y, z の値に関係なく成立する最小のaの値を求めることです。

この不等式を満たすためには、a の最小値を計算する方法として、特定の値を代入して確認する方法があります。具体的には、x = 1, y = 1, z = -2 のような値を代入して確認することができます。

代入して計算すると、a の最小値が求まります。この方法により、a の最小値は 2 であることがわかります。

この問題では、与えられた不等式が常に成り立つような最小の定数aを求めることが求められました。最小の定数aの値は2であり、これが不等式を常に満たすための最小値であることが確認できました。問題を解く際には、不等式を展開し、適切な値を代入して最小値を求める方法を用いました。