関数 f(a) の解き方と最小値を求める方法

この問題では、関数f(a)=[0→1]|x(x-a)|dxに関する問いに答えます。まず、f(a)の式を求めるための基本的な解法を解説し、次に最小値の求め方を説明します。

1. f(a) を a の式で表す (a ≧ 1 のとき)

関数f(a)は、積分を用いて定義されています。まず、|x(x-a)|の部分に注目します。xの範囲は[0, 1]なので、a ≧ 1 のとき、x – a は負の値となり、絶対値を取ることで式が |x(x-a)| = x(a – x) になります。したがって、積分式は次のように表せます。

f(a) = ∫₀¹ x(a – x) dx

この積分を計算すると、f(a) = a/2 – 1/3 という式が得られます。

次に、0 < a < 1の場合に関する解法です。ここで、関数の絶対値の取り方が変わります。積分式は次のようになります。

f(a) = ∫₀^a x(a – x) dx + ∫_a¹ x(x – a) dx

この2つの積分を計算すると、f(a) = a³/3 – a/2 + 1/3 が得られます。

次に、f(a)の最小値を求めるために、f(a)の導関数を求めて、最小値を求めます。導関数を求めて0とした値が最小値を与える点になります。

最小値は、f(a)の値がa = (√2 – 1) / 2のときに最小となり、その時の値は 2 – √2/6 となります。

この問題では、積分を使ってf(a)を求め、その後、導関数を用いて最小値を求めました。関数f(a)の式とその最小値の導出手順を理解することで、積分を用いた問題解法の基本を学ぶことができます。