この問題では、製品全体から不良品を無作為に選んだ際、それが特定の工場で作られた不良品である確率を求める問題です。ベイズの定理を使用して解く方法をステップごとに解説します。
問題の分析
問題文には、各工場での生産比率と不良品の割合が与えられています。それぞれの情報を整理すると次のようになります。
- 工場1：生産比率50%、不良品の割合1%
- 工場2：生産比率30%、不良品の割合2%
- 工場3：生産比率20%、不良品の割合3%
求めるのは、無作為に選んだ不良品が工場2で生産されたものである確率です。
ベイズの定理を用いた解法
ベイズの定理に基づく解法では、まず「不良品が工場2から来た」という事象の確率を求める必要があります。ベイズの定理は次のように表されます。
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
ここで、Aは「工場2で作られた不良品」、Bは「不良品を選ぶ」という事象です。
必要な確率の計算
それぞれの確率を求めます。
- P(工場2で作られた不良品) = P(工場2) * P(不良品|工場2) = 0.30 * 0.02 = 0.006
- P(不良品) = P(工場1で作られた不良品) + P(工場2で作られた不良品) + P(工場3で作られた不良品)
- P(工場1で作られた不良品) = 0.50 * 0.01 = 0.005
- P(工場3で作られた不良品) = 0.20 * 0.03 = 0.006
P(不良品)を計算すると、
よって、P(不良品) = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017
確率の求め方
ベイズの定理を使って、工場2で作られた不良品の確率を求めます。
P(工場2|不良品) = (0.006) / (0.017) = 0.3529
これをパーセントで表すと、35.3%となります。
まとめ
したがって、無作為に選んだ不良品が工場2で作られたものである確率は約35.3%です。ベイズの定理を利用して、各工場からの不良品が選ばれる確率を計算することでこの問題を解決できます。
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