アティマク上昇定理と局所化の理解

アティマク上昇定理に関する質問では、特定の環における局所化の概念を理解することが求められています。特に、環AとBにおいて、pという素イデアルを用いてAとBを局所化したときに成立する等式について詳しく解説します。

1. アティマク上昇定理の背景

アティマク上昇定理は、環論における重要な定理で、ある環の素イデアルとその局所化についての関係を扱います。ここでの「局所化」というのは、ある素イデアルに関連する元を逆元として扱うことで、その局所的な構造を理解しやすくする手法です。問題文における「q in q’かつq’^c=q’^c」などの条件は、局所化における素イデアルの関係を示唆しています。

2. pA_p=(qB_pかつA_p) の成立

pA_p と qB_p の局所化に関する等式が成り立つ理由を理解するためには、まず局所化の定義とその性質を押さえておくことが大切です。局所化の操作は、環Aにおける素イデアルpを使って、Aの元をpで逆元を持つようにすることです。これにより、Aにおける他の元との関係を局所的に調べることができます。

また、Bを局所化する場合、Bの素イデアルqを使用してBの元を逆元として扱うことになります。等式 pA_p = (qB_p) ∩ A_p の成り立ちについては、Bの局所化がAの局所化とどう交差するか、という点を考える必要があります。

3. 「pの局所化」とは何か？

「pの局所化」とは、pという素イデアルに関連する元が逆元を持つようにAやBを変形する操作です。この操作を通じて、素イデアルpに関連する部分に焦点を当て、局所的な性質を分析します。局所化操作を行うことで、素イデアルpの構造に基づいてAやBの元がどう影響するのかを見ていくことができます。

4. 局所化操作とイデアルの関係

局所化操作は、元が逆元を持つことにより環の構造が変わるため、イデアル同士の関係にも影響を与えます。特に、pA_pとqB_pの交差がどのように構造を変えるかを理解することが、等式 pA_p = (qB_p) ∩ A_p の理解に繋がります。

5. まとめ

アティマク上昇定理における局所化の概念と、pA_pとqB_pの等式が成り立つ理由を理解するためには、局所化操作の基本的な性質とその応用に関する知識が必要です。素イデアルqとq’の関係、そして局所化操作を通じてイデアルの性質を理解し、理論を適用していくことが重要です。