微分方程式 y' + 3y = 10sin(x) の解き方

微分方程式 y’ + 3y = 10sin(x) の解き方について詳しく解説します。この問題は、定常状態の解と非同次項に関する解法を組み合わせて解きます。

1. 同次方程式の解法

まず、同次の微分方程式を解く必要があります。y’ + 3y = 0 の解を求めます。この方程式は定数係数の線形微分方程式なので、標準的な方法で解けます。

解の形は y = Ce^(-3x) です。ここで C は定数です。

次に、非同次項 10sin(x) に対応する解を求めます。特に非同次項が三角関数であるため、特定の解として三角関数の形を予測します。

一般的なアプローチとして、特定解 y_p を y_p = A sin(x) + B cos(x) の形で仮定します。これを微分して、元の方程式に代入することで定数 A と B を求めます。

同次解と特解を組み合わせて、最終的な解を得ます。

最終的な解は y(x) = Ce^(-3x) + A sin(x) + B cos(x) となります。

このようにして、微分方程式 y’ + 3y = 10sin(x) の解は、同次解と特解の組み合わせで得られます。問題に与えられた条件（例えば初期条件）があれば、定数 C, A, B を求めることができます。