質問者が挙げた行列「2×2(3 -1 0 4)」について、固有値、固有ベクトル、対角化の方法を順を追って解説します。これにより、線形代数における基本的な概念と計算方法について理解を深めることができます。
行列の固有値の求め方
まず、行列「A = [[3, -1], [0, 4]]」の固有値を求めます。固有値λは、以下の特性方程式を解くことで求められます。
det(A – λI) = 0
ここで、Iは単位行列で、λは固有値を示します。この式を展開すると、次のようになります。
det([[3 – λ, -1], [0, 4 – λ]]) = (3 – λ)(4 – λ) = 0
この式から固有値λは、λ = 3またはλ = 4という二つの解を得られます。
固有ベクトルの求め方
次に、固有値を使って固有ベクトルを求めます。固有値λ = 3の場合、以下の方程式を解きます。
(A – 3I)v = 0
この式は次のように書けます。
[[3 – 3, -1], [0, 4 – 3]]v = [[0, -1], [0, 1]]v = 0
これを解くと、固有ベクトルv = t[1, 0]（tは任意のスカラー）となります。
同様に、固有値λ = 4の場合、以下の方程式を解きます。
(A – 4I)v = 0
これも次のように書けます。
[[3 – 4, -1], [0, 4 – 4]]v = [[-1, -1], [0, 0]]v = 0
この式を解くと、固有ベクトルv = t[1, -1]（tは任意のスカラー）となります。
行列の対角化
次に、行列Aを対角化します。対角化とは、行列Aを次の形に変換することです。
A = P * D * P⁻¹
ここでPは固有ベクトルからなる行列、Dは固有値が対角に並んだ対角行列です。
固有ベクトルを列ベクトルとしてPを構成します。
P = [[1, 1], [0, -1]]
対角行列Dは、固有値を対角に並べた行列です。
D = [[3, 0], [0, 4]]
最後に、P⁻¹を求めて、Aを対角化することができます。
まとめ
行列「2×2(3 -1 0 4)」の固有値はλ = 3とλ = 4、対応する固有ベクトルはそれぞれv = [1, 0]とv = [1, -1]となり、Aは対角化可能です。対角化のためのP行列とD行列を求めることができ、これにより行列Aの性質をさらに深く理解できます。
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