測度論におけるAのルベーグ外測度が0であることの証明

測度論において、集合A = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x ≧ 0, y ≧ 0, z = 0} のルベーグ外測度が0であることを証明する問題について解説します。ここでは、ルベーグ外測度の定義と、その性質を活用してAが零集合であることを示す方法を説明します。

ルベーグ外測度の定義

ルベーグ外測度とは、ユークリッド空間 ℝ³ 上の任意の集合に対して、その測度がどのように定義されるかを示すものです。具体的には、集合Aに対し、Aを包含するような開集合の和の測度の下限として定義されます。

つまり、Aが非常に小さい範囲に収束する場合、その外測度は0に近づきます。この概念を利用して、集合Aが零集合であることを証明するために、まずAがどのような集合であるかを理解する必要があります。

集合Aは、x≧0, y≧0, z=0 という条件を満たす点の集合です。これは、x軸とy軸上に位置する点で、z軸方向には展開していない平面上の集合です。具体的には、この集合はℝ²平面の第一象限に沿った部分集合に相当します。

したがって、集合Aは実際にはxとyの値に依存する二次元の部分集合であり、z=0に限定されています。これは、z軸方向に厚みがない、一次元的な集合といえるため、この集合の測度がどのように評価されるかに注目します。

ルベーグ外測度が0であることを示すために、集合Aは1次元的な部分集合であるため、無限小の領域に収束すると考えられます。具体的には、Aを包含する開集合として、Aをx軸とy軸方向にそれぞれの小さい区間で近似するような正方形の集合を考えます。

Aの各点は、x軸とy軸における非負の値を取る点であり、z軸方向に広がりがないため、Aを包む開集合の外測度は0に収束します。このため、Aのルベーグ外測度は0であると結論できます。

ルベーグ外測度が0であるための条件は、集合が1次元的で、厚みを持たない領域であることです。今回の集合Aは、x軸とy軸に沿った2次元的な平面であり、z=0という条件がついているため、その外測度は0です。

等号が成り立つ場合は、このAが零集合であること、すなわち、その測度が0であるときに等号が成立します。Aはz軸方向に広がりを持たないため、ルベーグ外測度が0になるという結論になります。

集合A = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x ≧ 0, y ≧ 0, z = 0} のルベーグ外測度が0であることを示すためには、Aが実質的に一次元的な部分集合であることを理解することが重要です。z軸方向に広がりを持たないため、その外測度は0となり、Aは零集合であると結論できます。