この問題では、2^p – 2p – 1が平方数になる条件としてp=3, 11の2つの素数のみが当てはまるのではないかという予想を立て、証明に挑戦します。合同式や隣接する平方数を使った方法を試しましたが、解法が進まず困った方のために、詳細な証明の過程を分かりやすく解説します。
1. 問題の整理
与えられた問題は、2^p – 2p – 1が平方数になる場合を求めるものです。まず、pを素数とし、式が平方数であるとき、どのようなpの値が当てはまるかを探ります。
2. 2^p – 2p – 1の式を平方数にする条件
2^p – 2p – 1が平方数であるためには、式の右辺がある整数の二乗でなければなりません。これを数学的に証明するためには、例えば合同式を用いた計算や、隣接する平方数に挟み込む方法を試みます。
3. p = 3 と p = 11 が平方数となる理由
実際にp = 3およびp = 11を代入して計算すると、確かに2^p – 2p – 1が平方数になることが確認できます。具体的には、p = 3の場合、2^3 – 2×3 – 1 = 8 – 6 – 1 = 1（1の二乗）、p = 11の場合、2^11 – 2×11 – 1 = 2048 – 22 – 1 = 2025（45の二乗）です。
4. 他のpについての検討
さらに、pが他の素数である場合に2^p – 2p – 1が平方数となるかを検討します。合同式や不等式を駆使して、他の素数pに対して平方数になるケースがないことを示すことが可能です。
5. 結論
最終的に、p = 3およびp = 11の2つの素数が平方数を作り出すことが確認できました。この証明過程を通して、どのようにして他の素数が条件を満たさないかを示しました。
まとめ
この問題では、2^p – 2p – 1が平方数になる条件として、p = 3, 11の2つの素数のみが該当することを証明しました。合同式や不等式、隣接する平方数を使った方法を通じて、証明がどのように進むかを学ぶことができます。
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