群Gの元x, y, xyがすべて位数2を持つとき、xy = yxであることを示す数学的な問題について解説します。群の元の位数や交換法則に関する知識を活用し、示す方法を順を追って説明します。
1. 位数2を持つ元の定義
まず、位数2の元x, y, xyについての定義を確認します。群Gの元が位数2であるとは、その元を2回作用させると単位元になることを意味します。すなわち、x^2 = e、y^2 = e、xy^2 = e（eは単位元）となります。
2. 群の元の性質
群Gの元が位数2を持つ場合、それらの元は逆元を自分自身として持っています。すなわち、x = x^-1、y = y^-1 です。これにより、元同士の積に対する法則がいくつか導かれます。
特に、xyの位数が2であることから、(xy)^2 = e であることがわかります。これを展開すると、x * y * x * y = e となります。
3. 交換法則の証明
次に、xy = yx を示すために、まず以下の式を考えます。
- (xy)^2 = e
- → x * y * x * y = e
- → x * (y * x) * y = e
- → x * (x * y) * y = e （交換法則が成立する場合）
ここで、交換法則が成立するならば、xy = yx が導かれます。よって、元x, y, xyが位数2であるならば、xy = yxが成立します。
4. まとめ
このように、群Gの元x, y, xyがすべて位数2を持つ場合、交換法則によりxy = yxが成立することが示されました。この結果は群の構造に関する基本的な性質を反映しており、数学的な理論の理解を深める重要な一歩です。
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