整数kとlを用いた式3k + 5lで全ての整数を表せることの証明

高校数学

この問題では、「3k + 5l で全ての整数を表せることを証明しなさい」という課題に取り組みます。ここで、kとlは整数とされています。数学的な証明を高校数学の範囲内でわかりやすく説明します。

1. 問題の理解

まず、3k + 5l の形で、すべての整数を表す方法を考えます。ここでkとlは整数です。問題が要求するのは、どんな整数nに対しても、n = 3k + 5lの形に表せるkとlを見つけることです。

2. 3と5が互いに素であることを確認

3と5は互いに素な整数です。互いに素とは、最大公約数が1であることを意味します。つまり、3と5には共通の約数が1以外にないということです。この性質を使って、任意の整数を3と5の線形結合で表現できることが証明できます。

3. ベズーの等式を利用した証明

ベズーの等式により、3と5が互いに素であれば、必ず整数kとlが存在して、任意の整数nがn = 3k + 5lの形に表せることが示されます。この方法を使うと、具体的にどのようなnについても解が求められることがわかります。

4. 実際に解を求める例

例えば、n = 1の場合を考えます。この場合、ベズーの等式を使って、n = 3k + 5lの形に表す整数kとlを求めます。実際に計算すると、k = -1, l = 1が得られ、1 = 3(-1) + 5(1)が成立します。

5. 任意の整数を表せることの確認

上記のように、任意の整数nに対して、n = 3k + 5lの形に表す整数kとlが必ず存在することがわかります。これにより、3k + 5lで全ての整数を表すことができることが証明されました。

まとめ

この問題では、3と5が互いに素であることを利用し、ベズーの等式を使って任意の整数nを3k + 5lの形に表せることを証明しました。これにより、3k + 5lが全ての整数を表せることが確定しました。

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