円の接線と直線の方程式の求め方【接線問題】

この問題では、円の接線を求める方法を解説します。与えられた円の方程式と接線を通る点を元に、接線の方程式を求めるステップを見ていきます。

円の方程式の整理

問題で与えられた円の方程式は、(x-1)^2 + (y-4)^2 = 25です。この式は、中心が(1, 4)、半径が5の円を表します。円の一般的な方程式は、(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2であり、ここで(h, k)は円の中心、rは半径です。

接線の方程式は、円と直線が一点で接するような直線です。接線の方程式を求めるために、接点の座標と接線の傾きを求める必要があります。まず、接線が円の中心を通らないため、接線が中心から放射される半径と直線が直角で交わることを利用します。

この問題では、接線が(-4, 1)を通ることが指定されています。この点を通る接線の方程式を求める方法は、接点と円の中心との位置関係を利用して求めます。

接線の方程式を求めるためには、直線の一般的な方程式 y = mx + bを使用します。接点が円の方程式を満たすように、この直線と円の方程式を組み合わせて解きます。具体的には、直線が円に接するため、円の方程式と直線の方程式を連立させ、その解が一つであることを確認します。

円の接線を求めるには、まず円の方程式を理解し、接線が通る点を使って直線の方程式を求めます。今回の問題では、接線が(-4, 1)を通ることが条件ですので、この点を用いて接線の方程式を求めました。接線問題は円の中心と接点の関係を理解することが重要です。