数学の問題で「2cos^2x + sinx > 2」という不等式を解く際、特に範囲を求める問題で悩んでいる方も多いと思います。この記事では、この不等式を解く際にどのようにxの値の範囲を求めるか、そしてその解法における重要なポイントを解説します。
不等式の解法の流れ
まず、この不等式「2cos^2x + sinx > 2」を解くためには、xの範囲を特定するための変形が必要です。最初にcos^2xの項を扱うために、sinxとcosxの関係を利用する必要があります。
具体的には、cos^2xは「1 – sin^2x」に置き換えることができます。このようにして、sinxだけの関数に変形することで不等式を解きやすくします。
変形して得られる式
不等式「2cos^2x + sinx > 2」を「2(1 – sin^2x) + sinx > 2」の形に変形すると、次のようになります。
2(1 – sin^2x) + sinx > 2
これを整理すると、「-2sin^2x + sinx > 0」という二次不等式になります。
解くための手順
次に、この二次不等式を解きます。まずは「-2sin^2x + sinx > 0」を因数分解して解きます。因数分解すると、以下のようになります。
sinx(-2sinx + 1) > 0
ここで、2つの因数をそれぞれ解くと、sinx > 0 または -2sinx + 1 > 0 という条件が得られます。
範囲の求め方
これらの不等式を解いていくと、sinx > 0 の範囲と -2sinx + 1 > 0 の範囲が求まります。これにより、xの値の範囲が「0° < x < 30°」および「150° < x < 180°」となります。
したがって、答えは「0 < x < 30, 150 < x < 180」となり、「0≦x<30, 150 この問題では、まず不等式を適切に変形し、二次不等式を解くことでxの範囲を求めることができました。重要なのは、解いた範囲において端点が含まれない場合があることを理解することです。特に、x = 0° と x = 180° の場合では不等式が成立しないため、範囲の端点を含めないことが理由となります。まとめ
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