積分計算の実例：√tan x と 1/√tan x の積分

積分計算は数学の中でも重要なテーマであり、特に三角関数を含む積分は頻繁に登場します。今回は、積分の基本的な技術を活用し、以下の2つの積分を解説します。

(i) ∫[0,π/2] √tan x dx
(ii) ∫[0,π/2] dx/√tan x

1. √tan x の積分 (i) ∫[0,π/2] √tan x dx

まず最初に、(i) の積分について考えましょう。積分 ∫[0,π/2] √tan x dx は、標準的な手法では解けないため、まずは変数変換を行います。

一つの方法は、tan x = t とおき、dx = dt / (1+t²) に変換することです。この変換により、積分は次のように変形できます。

∫[0,π/2] √tan x dx = ∫[0,∞] √t / (1+t²) dt

この積分を解くには、部分積分を用いるか、あるいは標準的な積分表を参照することが有効です。最終的には、この積分の解は次のように得られます。

解 = 1

次に、(ii) の積分 ∫[0,π/2] dx/√tan x を考えます。この積分も、変数変換を用いて解く方法が有効です。

こちらも同様に、tan x = t と置き換え、dx = dt / (1+t²) に変換します。すると、積分は次のように書き換えられます。

∫[0,π/2] dx/√tan x = ∫[0,∞] 1 / √t (1+t²) dt

この積分も、標準的な積分技法や積分表を使って解くことができます。解を求めると、次のように計算できます。

解 = 1

今回の2つの積分は、三角関数における変数変換を利用することで簡単に解けます。特に、積分を解く際には変数変換や標準的な積分表を参照することが効率的です。

数学の積分計算では、変数変換を行うことで非常に複雑な積分を簡単に解くことができるため、この技術を習得することが重要です。

今回取り上げた積分の例では、三角関数を含む積分の解法について詳しく解説しました。変数変換を使ったアプローチや積分表を活用することで、複雑な積分問題も解決することができます。積分の技術を磨くためには、繰り返し練習し、さまざまな問題に取り組むことが大切です。