整数解を求める：x² + x - (y² + 5) = 0 の解法

数学の問題で、x² + x – (y² + 5) = 0 の整数解を求める問題があります。ここでは、x と y が自然数であるという条件を元に、方程式の解法を順を追って説明します。

問題の整理

与えられた方程式は、x² + x – (y² + 5) = 0 です。この方程式を整理して、整数解を求めるためのステップを踏んでいきます。

まずは、方程式を整理してみましょう。

x² + x = y² + 5

次に、この方程式をxについて考えていきます。

x² + x = y² + 5 の形になっていますが、このままでは解けないので、左辺を完全平方の形に変形します。

完全平方にするために、x² + x を (x + 1/2)² – 1/4 のように変形します。

(x + 1/2)² – 1/4 = y² + 5

次に、両辺に 1/4 を足して、x の式をさらに整理します。

(x + 1/2)² = y² + 5 + 1/4

(x + 1/2)² = y² + 21/4

ここで、方程式の両辺が平方数であることに注目します。y² + 21/4 を整数にするために、y の値が特定の制約を受けることがわかります。

y² + 21/4 を整数にするためには、y² が4の倍数でなければなりません。したがって、y の値としては、偶数である必要があります。

具体的な解を求めるためには、y の偶数値を代入していくことになります。例えば、y = 2、y = 4 などを代入して、それに対応する x の値を求めます。

このようにして、可能な y の値に対する x の値を計算し、解の組み合わせを見つけることができます。

x² + x – (y² + 5) = 0 の整数解を求める問題では、方程式を整理し、完全平方を使って解を導きます。整数解を求めるためには、y の値に制約を設けて、それに対応する x の値を求めることが重要です。このようにして、与えられた問題に対して解を見つけることができます。