数学において、1次独立なベクトルaとbが与えられたとき、任意のベクトルpがp=sa+tbという形で表せるかどうかの証明が求められることがあります。ここでは、図形を使わずにこの命題を証明する方法を解説します。
1次独立の定義とその重要性
まず、1次独立なベクトルaとbの定義を確認します。ベクトルaとbが1次独立であるとは、スカラーsとtが存在して、s*a + t*b = 0 となる場合に、s = 0かつt = 0でなければならないということです。
この定義に基づき、aとbはどちらか一方が他方のスカラー倍で表せる関係にはないため、線形結合で表される任意のベクトルpは、sとtの適切な組み合わせとして表されることが保証されます。
任意のベクトルpがsa+tbで表せることの証明
次に、任意のベクトルpが、ベクトルaとbの線形結合であるsa+tbとして表されることを示します。ベクトルpは任意であるため、pを一般的なベクトルとして考えます。
p = sa + tb と仮定します。このとき、sとtが定まれば、ベクトルpはaとbの線形結合として表現できることが分かります。
係数sとtの求め方
次に、sとtを求める方法を考えます。pがsa+tbの形で表せるならば、まずは線形方程式として立ててみます。これは、pの成分がaとbの成分の加重和として表せるという関係を意味します。
具体的には、各ベクトルaとbを成分に分解し、それらの成分に対するsとtを求めます。これにより、任意のベクトルpがaとbの線形結合で表されるため、sとtが一意に決まります。
まとめ：1次独立なベクトルで任意のベクトルpを表す
1次独立なベクトルaとbに対して、任意のベクトルpがp = sa + tbの形で表される理由は、pをaとbの成分の加重和として表すことができ、sとtが決まることで成り立つからです。この方法は、任意のベクトルが1次独立なベクトルの線形結合として表現できることを示しており、線形代数の基礎的な概念を理解する上で重要です。
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