連続型確率変数の確率計算は、確率密度関数を用いて行われます。この記事では、なぜP(a ≤ X ≤ b)が確率密度関数とx = a, x = bで囲まれた部分の面積に等しいのかを解説します。
連続型確率変数とは？
連続型確率変数とは、ある範囲内の任意の値を取ることができる確率変数です。例えば、身長や体重、時間などが連続型の確率変数です。このような確率変数の確率は、ある範囲における確率密度関数を使って求められます。
確率密度関数とは、確率変数が特定の値を取る確率を密度として表現したもので、一般にf(x)という関数で表されます。連続型確率変数の確率は、この確率密度関数を積分することで求められます。
確率P(a ≤ X ≤ b)と面積の関係
確率P(a ≤ X ≤ b)は、確率変数Xがa以上、b以下の値を取る確率です。この確率は、確率密度関数f(x)をaからbまで積分することで求められます。つまり、P(a ≤ X ≤ b)は、x = aからx = bまでの確率密度関数の下の面積に対応しています。
具体的に言うと、確率密度関数f(x)が与えられた場合、P(a ≤ X ≤ b)は次のように表されます：
P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a, b) f(x) dx
なぜ面積に等しいのか？
確率密度関数f(x)は、確率変数Xがある範囲に属する確率を密度として表現しています。このため、確率密度関数の下の面積を求めることが、Xがその範囲に入る確率を求めることに相当します。
面積を使う理由は、確率密度関数f(x)が単位面積当たりの確率を表すからです。したがって、P(a ≤ X ≤ b)はx = aからx = bまでの確率密度関数の面積を計算することによって求められます。
例を使った解説
例えば、確率密度関数f(x) = 2x（x ∈ [0, 1]）の場合、P(0.2 ≤ X ≤ 0.5)を求めたいとします。この場合、確率P(0.2 ≤ X ≤ 0.5)は次のように積分で計算できます。
P(0.2 ≤ X ≤ 0.5) = ∫(0.2, 0.5) 2x dx = [x^2]_{0.2}^{0.5} = 0.25 – 0.04 = 0.21
このように、積分によって確率を求めることができます。
まとめ
連続型確率変数の確率P(a ≤ X ≤ b)は、確率密度関数f(x)をaからbまで積分することで求められ、この積分の結果は、x = aからx = bまでの面積に等しいという関係があります。確率密度関数を使った積分を通して、確率の計算が行えることが理解できました。
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