微分方程式 y'' - (6/x²)y = xlogx の解法

この問題では、与えられた2階線形非同次微分方程式を解くことが求められています。

問題の理解

微分方程式の形は次のようになります。

y” – (6/x²)y = xlogx

この式を解くには、まず同次解と非同次解を求める方法を使います。

まず、同次方程式に着目します。

y” – (6/x²)y = 0

これは定数係数ではなく、xによって係数が変わる変数係数の2階線形微分方程式です。この種の方程式を解くためには、まず解の形を仮定して、変数分離法や指数関数的な解法を使います。

次に、非同次項xlogxを扱います。通常、このような問題では定積分法を用いて特解を求めます。特解の形を仮定し、それを元の式に代入して調整します。

特解の仮定として、例えばxlogxの形に基づいて解を選び、計算を行います。こうして、同次解と特解を足し合わせて最終的な解が得られます。

最終的に、同次解と特解を組み合わせた解が得られ、これが元の微分方程式の解となります。

この問題では、まず同次方程式を解き、その後非同次項に対する特解を求める方法で解を導きます。微分方程式の解法には、定積分法や仮定法などさまざまな技法が使われます。問題の解法過程をしっかり理解することで、他の類似の問題にも応用できるようになります。