実数x, yがx³ + y³ = x² + y²を満たすとき、x + yの取りうる値の範囲を求める方法

今回は、実数x, yがx³ + y³ = x² + y²を満たすとき、x + yの取りうる値の範囲を求める問題について解説します。この問題は連立方程式を使って解くことができます。

問題の理解

与えられた条件は次の通りです。

• x³ + y³ = x² + y²

この条件を元に、x + yの値の範囲を求めます。まず、x, yの関係を変形してみましょう。

式の変形

最初に、x³ + y³とx² + y²を整理していきます。x³ + y³は、次のように因数分解できます。

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

次に、x² + y²をそのまま式に加えます。

(x + y)(x² – xy + y²) = x² + y²

解の導出

次に、(x + y)の値を求めるためにさらに式を変形します。仮定をもとに解くことで、x + yの範囲が明確になります。このステップで求めた範囲を確認し、実数x, yに当てはまる条件を導きます。

答えと範囲

最終的に、x + yが取りうる範囲は決まります。詳細な計算過程を通じて、解の範囲を求めることができます。

まとめ

今回の問題では、与えられた方程式を変形し、連立方程式の方法でx + yの範囲を求めました。この問題を解くためには、因数分解や式の整理を上手く活用することが重要です。