この問題では、2つの放物線C₁:y=x^2とC₂=－x^2 ＋2ax－2a^2 ＋2が異なる2点で交わるとき、C₁とC₂で囲まれた面積Sの最大値を求める方法を考察します。また、解説の前半部分で登場したαとβの式がどのように導かれるかについても詳しく説明します。
問題の理解と式の整理
与えられた放物線C₁とC₂は次のように定義されています。
1. C₁: y = x²
2. C₂: y = -x² + 2ax – 2a² + 2
これらの2つの放物線が異なる2点で交わるため、まずはこれらの交点を求める必要があります。交点の座標を求めるには、C₁とC₂の式を等しくして解きます。
交点を求めるための方程式
C₁とC₂の交点を求めるためには、以下のようにC₁とC₂の式を等式で結びつけます。
x² = -x² + 2ax – 2a² + 2
この式を整理すると。
2x² – 2ax + 2a² – 2 = 0
さらに簡単にすると。
x² – ax + a² + a – 1 = 0
ここで、この2次方程式が解を持つためには、判別式Dが0以上である必要があります。
αとβの導出
次に、この方程式の解を求めるために判別式Dを使います。Dは次のように計算されます。
D = (-a)² – 4(1)(a² + a – 1)
これを計算すると。
D = a² – 4(a² + a – 1)
D = a² – 4a² – 4a + 4
D = -3a² – 4a + 4
判別式が0以上で解が実数解を持つ条件として、D ≥ 0となるaの範囲を求めることができます。これを解くと、aの範囲は2 < a < 2/3となります。
次に、2次方程式の解を求めるために、解の公式を使います。
α = (a – √D) / 2
β = (a + √D) / 2
このように、αとβはaの値に基づいて計算され、交点のx座標として利用されます。ここで、a < βとなり、αとβは実際に交点を示すx座標になります。
面積Sの最大値の求め方
C₁とC₂で囲まれた部分の面積Sを求めるには、交点間のx座標αとβを用いて積分を行います。具体的には、次のように積分して面積を求めます。
S = ∫(C₁ – C₂) dx
この積分を行うことで、面積Sを求めることができ、その最大値を求めることができます。計算の結果、Sの最大値は64√3 / 27となります。
まとめ
この問題では、2つの放物線C₁とC₂の交点を求め、その間で囲まれた面積Sの最大値を求めました。αとβは、与えられた方程式から導出した解であり、交点のx座標を示します。積分を用いて面積を求め、その最大値は64√3 / 27であることが確認できました。
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