この問題では、関数 f(x) = |x^2 – 1| – x の範囲 -1≦x≦2 における最大値と最小値を求めます。まず、関数を理解し、適切に場合分けを行って解いていきます。
関数の整理
関数 f(x) = |x^2 – 1| – x のポイントは、絶対値を含んでいるため、xの値に応じて場合分けをしなければなりません。
絶対値の中身が 0 になるのは、x = -1 または x = 1 の時です。これをもとに、x の範囲に基づいて場合分けをします。
場合分け
関数の絶対値部分を場合分けするために、x の範囲を次のように分けます。
- -1 ≦ x < 1 の場合、x^2 - 1 は負の値なので、|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) となります。
- 1 ≦ x ≦ 2 の場合、x^2 – 1 は正の値なので、|x^2 – 1| = x^2 – 1 となります。
計算手順
次に、それぞれの範囲で関数を整理して計算していきます。
-1 ≦ x < 1 の場合
この場合、f(x) = -(x^2 – 1) – x = -x^2 + 1 – x となります。
この関数を使って、-1 ≦ x < 1 の範囲で最大値と最小値を求めます。
1 ≦ x ≦ 2 の場合
この場合、f(x) = x^2 – 1 – x = x^2 – x – 1 となります。
同じように、この範囲でも最大値と最小値を求めます。
最大値と最小値を求める方法
それぞれの範囲において、関数を微分して最大値と最小値を求めます。微分を用いて、関数の変化率を調べ、極値（最大値または最小値）を求めます。
まとめ
関数 f(x) = |x^2 – 1| – x の最大値と最小値を求めるには、x の範囲に応じて場合分けを行い、それぞれで関数を整理した後、微分して極値を求めます。これを行うことで、-1≦x≦2 の範囲における最大値と最小値を求めることができます。
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