この問題では、ベクトルaとベクトルbを使ってベクトルcを表現する方法を学びます。まず、ベクトルaが与えられ、これを原点を中心に反時計回りに90度回転させたベクトルbが求められます。そして、最終的にはベクトルcをベクトルaとベクトルbで表現する方法を解説します。
ベクトルaの回転
問題では、ベクトルaが与えられています。ベクトルa = (2√5/5, √5/5)です。このベクトルを原点を中心に反時計回りに90度回転させる必要があります。ベクトルの90度回転は、次のように計算できます。
ベクトルa = (x, y)が与えられたとき、これを90度反時計回りに回転させると、新しいベクトルbは、以下の式で求められます。
b = (-y, x)
したがって、ベクトルa = (2√5/5, √5/5)を90度回転させると、ベクトルbは次のように求められます。
b = (-(√5/5), 2√5/5) = (-√5/5, 2√5/5)
ベクトルcをベクトルaとベクトルbで表現
次に、ベクトルc = (7√5/5, -4√5/5)を、ベクトルaとベクトルbで表現する方法を求めます。ベクトルcをベクトルaとベクトルbの線形結合として表現するためには、以下のように考えます。
c = s * a + t * b
ここで、sとtはスカラーです。ベクトルaとベクトルbの成分を代入すると、次のような式が得られます。
(7√5/5, -4√5/5) = s * (2√5/5, √5/5) + t * (-√5/5, 2√5/5)
これを成分ごとに分けて、次の連立方程式を得ます。
7√5/5 = s * 2√5/5 + t * (-√5/5)
-4√5/5 = s * √5/5 + t * 2√5/5
連立方程式を解く
この連立方程式を解くために、まず両方の式から√5/5を取り除き、簡単な形にします。
7 = 2s – t
-4 = s + 2t
この2つの式を解くと、sとtの値が求められます。まず、2つ目の式からsを求めます。
s = -4 – 2t
これを1つ目の式に代入すると。
7 = 2(-4 – 2t) – t
7 = -8 – 4t – t
7 + 8 = -5t
15 = -5t
t = -3
t = -3を元の式に代入してsを求めます。
s = -4 – 2(-3) = -4 + 6 = 2
最終的な解
したがって、s = 2、t = -3です。これにより、ベクトルcは次のように表されます。
c = 2 * a – 3 * b
このようにして、ベクトルcをベクトルaとベクトルbの線形結合として表現することができました。
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