座標平面上で、原点Oから点Pと点Qが動き、次の条件を満たすとします：
1. |OP – 2OQ| = 1
2. |2OP – OQ| = 1。この条件のもとで、|OP + 2OQ|がとる最大値と最小値を求める問題です。この記事では、この問題を解くための方法をステップバイステップで解説します。
問題の設定
与えられた条件を整理しましょう。まず、Oを原点とし、PとQは座標平面上の点です。|OP|と|OQ|は、それぞれ点Pと点Qの原点からの距離を表しています。条件1と条件2は、これらのベクトルの関係を示しています。
次に、この条件から|OP + 2OQ|の最大値と最小値を求めることが求められています。これを解決するためには、ベクトルの幾何学的な意味を理解し、適切な方法を使う必要があります。
ベクトルの性質を使ったアプローチ
条件1と条件2は、ベクトルの加法や内積を活用することで解くことができます。まずはベクトルOPとOQをそれぞれ、適切な座標として表現します。そして、|OP|と|OQ|の関係を式に落とし込んでいきます。
その後、|OP + 2OQ|を最大化および最小化するために、ベクトルOPとOQの成分を使って式を整理し、幾何学的に解を求めます。特に、三角形の不等式や内積の定義を使って解くと効率的です。
条件から導かれる方程式
条件1（|OP – 2OQ| = 1）と条件2（|2OP – OQ| = 1）を満たすベクトルOPとOQの関係式を立てます。これにより、|OP|と|OQ|の関係を絞り込むことができます。
次に、|OP + 2OQ|を求めるために、ベクトルOPとOQを線形結合して、問題の関係を計算します。ここでは、ベクトルの大きさや内積を使って、最終的に最大値と最小値を求めることができます。
最大値と最小値の計算
計算により、|OP + 2OQ|が取る最大値と最小値を求めることができます。この過程では、ベクトルの方向や長さを調整し、条件に合うPとQの位置を求めます。その結果、|OP + 2OQ|の最大値と最小値を具体的に計算することができます。
具体的には、幾何学的に解を可視化することで、最大値と最小値の範囲を確定できます。最終的に、この問題が解けることで、ベクトルの直感的な理解が深まります。
まとめ
本問題では、条件をベクトルの関係として表現し、幾何学的な手法を使って解く方法を紹介しました。|OP + 2OQ|の最大値と最小値を求めるためには、ベクトルの性質をしっかり理解し、式に落とし込んで解くことが重要です。この解法を通じて、座標平面上のベクトルの関係をより深く学ぶことができるでしょう。
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