質問者は、数列 bn := Σ[k=1→n] sin kθ の有界性について証明を求めています。ここでは、この数列が有界であることを示す方法を解説します。
1. 数列 bn の定義
数列 bn は、n 番目の項までのサイン関数の総和として定義されています。具体的には、次のように表されます:
bn = Σ[k=1→n] sin kθ。
2. サイン関数の性質
サイン関数は、周期的であり、各kに対して -1 ≤ sin kθ ≤ 1 の範囲に収束します。この性質を利用することで、bn が有界であることを確認できます。
3. 数列 bn の上界と下界の探索
数列 bn は、各項が-1から1の範囲に収束しているため、総和の範囲も次のように制約されます。
bn = Σ[k=1→n] sin kθ において、各項の最大値は1、最小値は-1 です。このため、数列 bn の最大値は n となり、最小値は -n となります。
4. 有界性の確認
したがって、数列 bn の各項は -n ≤ bn ≤ n の範囲に収束します。つまり、数列 bn は有界であると証明できます。
5. 結論
数列 bn := Σ[k=1→n] sin kθ は、有界であることが示されました。サイン関数の性質とその範囲に基づいて、数列が収束する範囲を求めることができました。
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