三次関数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d の最大値と最小値の条件

三次関数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d の最大値と最小値を求める問題について、特定の区間 [k, l] 内での条件を確認します。特に、f(k) が最大値、f(l) が最小値、またはその逆の場合について解説します。

三次関数の基本的な性質

三次関数は一般に、曲線が単調増加から単調減少に変化する点（臨界点）を持ちます。この臨界点は、関数の1階導関数がゼロになる点であり、ここでの関数の値が最大値または最小値となります。

与えられた関数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d の導関数を求めると、f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c となります。この1階導関数がゼロになる点が、最大値や最小値を示す臨界点です。

f(k) = 最大値、f(l) = 最小値 の場合の条件

まず、f(k) が最大値、f(l) が最小値となるためには、次の条件が必要です。

• f'(k) = 0 かつ f”(k) < 0
• f'(l) = 0 かつ f”(l) > 0

ここで、f'(k) = 0 は k が臨界点であることを示し、f”(k) < 0 はその点が最大値を持つことを示します。l に関しても同様に、f'(l) = 0 は l が臨界点であり、f''(l) > 0 は最小値を持つことを示します。

f(l) = 最大値、f(k) = 最小値 の場合の条件

次に、f(l) が最大値、f(k) が最小値となるための条件は以下の通りです。

• f'(l) = 0 かつ f”(l) < 0
• f'(k) = 0 かつ f”(k) > 0

この場合、l が最大値を持つためには、f'(l) = 0 かつ f”(l) < 0 であり、k が最小値を持つためには、f'(k) = 0 かつ f''(k) > 0 である必要があります。

まとめ

三次関数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d において、最大値と最小値を求めるためには、臨界点での1階導関数の値がゼロであり、2階導関数がその点が最大値または最小値を示すかどうかを確認することが重要です。f(k) が最大値、f(l) が最小値となる条件と、f(l) が最大値、f(k) が最小値となる条件について理解し、具体的な数値を代入して確認することができます。