この問題では、r > 1 のときに、lim[n→∞]n^k/r^n = 0 を示すことを求めています。ここで、kは自然数です。この問題を解くためには、無限大での極限の取り扱い方と、指数関数の性質を活用する必要があります。
問題の設定と前提条件
まず、この問題の条件を整理しましょう。与えられた式は、lim[n→∞] (n^k / r^n) です。ここで、n^k は多項式関数であり、r^n は指数関数です。そして、r は1より大きいという条件が与えられています。r > 1 ということは、r^n はnが大きくなるにつれて急速に増加することを意味します。
指数関数と多項式関数の違い
指数関数 r^n は、n が大きくなると非常に速く増加します。一方、多項式関数 n^k は、n が大きくなっても増加は徐々に行われ、指数関数の成長には及びません。したがって、r > 1 の場合、r^n の増加速度が n^k を上回るため、n^k / r^n の値は次第に小さくなり、最終的には0に収束することが予想されます。
具体的な証明の進め方
この極限の計算は、特に以下のようなアプローチで進めることができます。まず、n^k / r^n の形を簡単に変形します。
n^k / r^n = (1 / r)^n * n^k
ここで、(1 / r)^n は n が大きくなると 0 に収束します。また、n^k は多項式であり、r^n の成長に比べて非常に遅いので、全体としてこの式は0に収束します。
リミットの計算
lim[n→∞] (n^k / r^n) の計算を進めると、r > 1 の条件下では、(1 / r)^n が0に収束するため、n^k / r^n も0に収束します。したがって、lim[n→∞] (n^k / r^n) = 0 となります。
まとめ
r > 1 のとき、n^k / r^n の極限は0に収束することがわかりました。これは、指数関数 r^n が多項式関数 n^k に比べてはるかに速く増加するためです。このような極限問題では、指数関数と多項式関数の成長速度の違いを理解し、適切にアプローチすることが重要です。
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