二次関数における最大値と最小値の条件

二次関数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) において、特定の区間[k, l]内で最大値や最小値がどのような条件で得られるかについて考えます。今回は、二次関数の形を用いて最大値や最小値の位置と条件を解説します。

1. f(k) = 最大値, f(l) = 最小値 となるための条件

二次関数f(x) = ax^2 + bx + cは、放物線の形をしており、aの符号によって開き方が変わります。f(k) が最大値、f(l) が最小値となるための条件は、以下のように求めることができます。

まず、二次関数の頂点のx座標は、頂点の公式 x = -b/(2a) で求めることができます。f(k) を最大値、f(l) を最小値とするためには、k と l がちょうどこの頂点の前後に位置している必要があります。このため、k と l はそれぞれ頂点のx座標を中心に左右対称に配置される必要があり、すなわち、k + l = -b/a が成立します。

2. f(l) = 最大値, f(k) = 最小値 となるための条件

次に、f(l) = 最大値, f(k) = 最小値 の場合について考えます。この場合も、二次関数の特性に基づき、f(x)の開き方が関係してきます。aが正であれば最小値は頂点で得られ、aが負であれば最大値は頂点で得られます。

したがって、k と l が頂点の前後に位置するという条件は同じであり、この場合も k + l = -b/a が成り立ちます。しかし、この場合は、kが最小値を、lが最大値を取るため、a < 0 である必要があります。

3. まとめ

二次関数 f(x) = ax^2 + bx + c において、特定の区間で最大値や最小値が求められる条件は、k と l が頂点の前後に位置し、k + l = -b/a という関係が成り立つことです。また、最大値と最小値の位置が入れ替わるためには、aが負である必要があります。このように、二次関数における最大値や最小値の位置は、関数の頂点と関係が深いことがわかります。