放物線の平行移動: 方程式と準線、焦点の座標の変化

放物線の方程式 y^2 = 4px (p ≠ 0) を x軸方向へ a, y軸方向へ b 平行移動させた場合の方程式、準線、焦点の座標について解説します。この問題では、放物線が平行移動することによる方程式と幾何学的な変化を求めることが求められます。

1. 放物線の方程式の平行移動後の変化

元々の放物線の方程式は y^2 = 4px です。この放物線を x軸方向へ a、y軸方向へ b 平行移動すると、放物線の新しい方程式は以下のようになります。

新しい放物線の方程式は、元の方程式に a と b を加えることで次のように表されます。

（y – b）^2 = 4p(x – a)

これが平行移動後の放物線の方程式です。x 軸と y 軸の移動による変化を反映しています。

元々の準線の方程式は x = -p です。放物線が x 軸方向に a、y 軸方向に b 平行移動したことを反映させると、準線は x = -p から x = -p + a へと移動します。

したがって、平行移動後の準線の方程式は次のようになります。

x = -p + a

元々の焦点の座標は (p, 0) です。放物線が平行移動することにより、焦点の位置も同様に移動します。x 軸方向へ a、y 軸方向へ b 平行移動するため、焦点の新しい座標は次のように求められます。

新しい焦点の座標は (p + a, b) です。

放物線 y^2 = 4px を x 軸方向に a、y 軸方向に b 平行移動させると、放物線の方程式、準線の方程式、焦点の座標がそれぞれ以下のように変化します。

これにより、放物線の平行移動後の幾何学的な特性を正確に求めることができます。