双曲線の平行移動後の方程式、漸近線、焦点の求め方

双曲線の方程式やその特徴を理解することは、数学において非常に重要です。特に、双曲線を平行移動させた場合の方程式や漸近線、焦点の位置について考えることがよくあります。この記事では、双曲線x^2/p^2 – y^2/q^2 = 1をx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動させた場合の新しい方程式、漸近線、焦点の座標を求める方法を解説します。

元の双曲線の方程式とその特徴

まず、元の双曲線の方程式は次のように与えられています。

x^2 / p^2 – y^2 / q^2 = 1

ここで、p > 0, q > 0 です。この方程式は、原点を中心とする双曲線を表しており、漸近線はy = ±(q/p) xの形であり、焦点は(±√(p^2 + q^2), 0)に位置しています。

平行移動後の双曲線の方程式

次に、この双曲線をx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動させたときの新しい方程式を求めます。平行移動により、元の双曲線の中心は(0, 0)から(a, b)に移動します。そのため、双曲線の方程式は次のように変化します。

(x – a)^2 / p^2 – (y – b)^2 / q^2 = 1

これが、x軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動後の双曲線の方程式です。

平行移動後の漸近線の方程式

元の双曲線の漸近線はy = ±(q/p) xですが、平行移動後も漸近線の傾きは変わりません。したがって、平行移動後の漸近線の方程式は次のように表されます。

y – b = ±(q/p) (x – a)

これが、移動後の双曲線の漸近線の方程式です。ここで、漸近線の傾き(q/p)は元の双曲線と同じです。

平行移動後の焦点の座標

元の双曲線の焦点は(±√(p^2 + q^2), 0)でしたが、双曲線が平行移動すると、焦点もその分移動します。したがって、平行移動後の焦点の座標は次のように求められます。

(±√(p^2 + q^2) + a, b)

これが、移動後の双曲線の焦点の座標です。焦点の位置は、元の位置からx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動したものになります。

まとめ

双曲線の方程式を平行移動させると、元の方程式にxとyの変数を移動量a、bで調整した形になります。また、漸近線の方程式は傾きは変わらず、焦点の座標も平行移動後の位置に調整されます。これらの理解を深めることで、双曲線に関連するさまざまな問題を効果的に解くことができます。