数学における集合やカード（基数）の概念を理解することは、集合論の基本的な部分です。特に、n = card(N) としたときに、n = n + n を示すことがなぜ成り立つのかについて解説します。この記事では、その証明方法を簡潔に説明します。
カード（基数）の基本概念
まず、カード（基数）とは、集合の「大きさ」を示すものであり、自然数の集合Nの基数は通常、有限でない無限集合の大きさを表すために使われます。n = card(N)と定義された場合、nは自然数Nの基数、すなわちNの要素の数を意味します。
ここで重要なのは、無限集合の基数を扱うとき、直感的な有限集合の足し算とは異なるルールが適用される点です。
n = n + n を示す理由
集合Nの基数nが無限集合に関連する場合、この式「n = n + n」が成立するのは、無限集合における「加算」の性質に起因しています。無限集合に対する加算は、有限集合の加算とは異なり、要素の数を変えることなく「追加」を表すことができます。
例えば、集合N = {1, 2, 3, …} において、Nを2つの部分集合に分け、その2つの部分集合を合わせても、全体の基数は変わりません。この性質を利用することで、n = n + n が成り立ちます。
証明の方法
n = card(N)としたとき、無限集合Nに対して、NとNを合わせた集合N’を考えます。このN’は、Nの2倍の要素を持つように見えるかもしれませんが、実際にはNと同じ大きさを持つ集合です。したがって、NとNを合わせた集合の基数もまたnに等しくなります。
このようにして、n = n + n という式が成り立つことが示されます。
無限集合における加算の特性
無限集合における加算は、有限集合の足し算のように「個々の要素」を単純に追加するわけではありません。無限集合の場合、部分集合の「集合」の大きさが加算されるのではなく、集合全体の「基数」が変わらないため、n = n + nという関係が成立します。
まとめ
n = card(N) と定義される場合において、n = n + n が成り立つ理由は、無限集合の基数における加算の特性によるものです。無限集合では、集合を分割したり合わせたりしても、その基数が変わらないため、この式が成立します。このような概念は、集合論における無限集合の取り扱いにおいて重要な役割を果たします。
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