集合の濃度（cardinality）に関する問題は、数学の基礎において重要なトピックです。特に、実数の集合 (R) と複素数の集合 (C) の濃度が等しいことを示す問題は、集合論の基本的な知識を深めるための良い練習です。この記事では、card(C) = card(R) を証明する方法について詳しく解説します。
集合の濃度とは？
まず、集合の濃度とは、その集合がどれくらいの「大きさ」を持っているかを示す概念です。有限集合の場合は、単純にその要素数が濃度になりますが、無限集合の場合は、集合の「サイズ」を比較するために、対応する関数を使って証明を行います。
特に重要なのは、集合の濃度を比較する際に、対応関係（bijection）を用いる点です。もし、集合Aと集合Bの間に一対一対応（bijective mapping）が存在すれば、それらの集合は同じ濃度を持っていると言います。
card(C) = card(R) の証明の流れ
実数の集合Rと複素数の集合Cの濃度が等しいことを示すためには、RからCへの一対一対応を構築する必要があります。この対応関係を証明することで、card(R) = card(C) が成り立つことを示します。
実数Rと複素数Cの各要素がどのように対応するかを考えると、Rを実部と虚部に分けた複素数の形式として表現できます。すなわち、複素数は実数のペアとして表せるため、R × R = C という形で対応が可能です。
R × R と C の一対一対応
実数の集合Rの任意の2つの要素を (x, y) として、複素数z = x + iy（ここでiは虚数単位）とすることができます。このように、実数のペアが複素数に対応します。
この対応は一対一対応であるため、R × R の濃度とCの濃度は等しいことが示されます。したがって、card(R × R) = card(C) となり、card(R) = card(C) が成立します。
無限集合の濃度の比較
実数の集合Rと複素数の集合Cはどちらも無限集合であり、その濃度を比較する際には、無限の概念に関する理解が重要です。無限集合の濃度が等しいことを示すためには、先ほど述べたように一対一対応を見つけることが鍵となります。
このような手法を用いることで、複素数の集合と実数の集合の濃度が等しいことを確定できます。
まとめ
今回は、集合の濃度の概念を用いて、card(C) = card(R) を証明する方法について解説しました。実数と複素数の濃度が等しいことは、集合論の基礎的な事実であり、数学の深い理解を得るために重要です。この証明方法を他の集合論の問題にも応用することで、集合の濃度についての知識をさらに深めることができます。
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