数学のモジュラー算術における重要な問題の一つとして、「n≡1 (mod7) のとき、n⁷ – n ≡ 0 (mod7) にn=1を代入してもよいか？」という質問があります。この記事では、モジュラー算術の基礎とともに、なぜ特定の数値を代入しても問題ないのかについて説明します。
1. モジュラー算術とは？
モジュラー算術は、ある数を他の数で割った余りに関する数学です。例えば、n≡a (mod m) という式は、nをmで割った余りがaであるという意味です。この理論は、数論や暗号理論など、さまざまな分野で非常に重要な役割を果たします。
「n≡1 (mod7)」というのは、nが7で割った余りが1であることを意味します。これは、nが1, 8, 15, 22, 29… という数値であることを示しています。
2. n⁷ – n ≡ 0 (mod7) の意味と代入の理由
次に、式「n⁷ – n ≡ 0 (mod7)」について考えてみましょう。これは、「n⁷からnを引いた結果が7で割り切れる」という条件です。モジュラー算術では、このような式を扱うとき、特定のnの値を代入して計算を確認することが一般的です。
n≡1 (mod7)の場合、n=1を代入して式をチェックしてみると、1⁷ – 1 = 0 となり、0 ≡ 0 (mod7) が成り立ちます。これにより、n=1のとき、この式が成立することが確認できます。
3. 他のnの値（n≡-1, ±2, ±3 (mod7)）についての代入
次に、n≡-1, ±2, ±3 (mod7) の場合を考えてみましょう。モジュラー算術では、これらの値を代入しても同様に式が成立するかどうかを確認できます。
- n≡-1 (mod7)の場合: -1 ≡ 6 (mod7) です。これを代入して計算すると、6⁷ – 6 ≡ 0 (mod7) が成立します。
- n≡2 (mod7)の場合: 2⁷ – 2 ≡ 0 (mod7) となり、式が成立します。
- n≡-2 (mod7)の場合: -2 ≡ 5 (mod7) となり、5⁷ – 5 ≡ 0 (mod7) が成立します。
このように、他の値を代入しても式が成立するため、n=1と同様に他の値を代入しても問題ありません。
4. まとめ
モジュラー算術において、「n≡1 (mod7)」のとき、n⁷ – n ≡ 0 (mod7) にn=1を代入しても問題ありません。同様に、n≡-1, ±2, ±3 (mod7) の場合にも、代入しても式が成立することが確認できます。このように、モジュラー算術の特性を理解し、適切に計算を行うことが重要です。
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