誘電体における電場と電位の解析: 半径aの導体球と導体球殻を包む系の問題

物理学

2025.07.18

本記事では、誘電率がr^nに比例する誘電体で満たされた半径aの導体球を内半径b、外半径cの導体球殻で包んだ系における電場と電位について詳しく解説します。特に、電場の大きさや方向、電位の求め方などの問題に焦点を当て、その解法をステップバイステップで説明します。

問題設定と前提条件

この問題では、半径aの導体球が電荷Q1を持ち、内半径b、外半径cの導体球殻で包まれており、誘電率ε(r)はr^nに比例します。導体球と導体球殻が誘電体で満たされており、電位V1（導体球）とV2（導体球殻）が与えられています。問題は、電場と電位を求めることにあります。

まず、誘電体領域（a

電場の大きさEは、次のように表されます。

E(r) = (Q1) / (4πε0 r^2) * (1 / ε(r))

ここで、ε(r) = kr^n ですので、最終的な電場は次のように書き直せます。

E(r) = (Q1) / (4πε0 r^2) * (1 / kr^n) = (Q1) / (4πε0 k r^(2+n))

次に、r(a

電場Eは電位Vの勾配に対応しており、次の関係が成り立ちます。

E = -dV/dr

したがって、電位V(r)は次のように求められます。

V(r) = V1 + ∫(a→r) E(r’) dr’

ここで、E(r’)は先程求めた電場です。積分を実行すると、次のような電位が得られます。

V(r) = V1 + (Q1) / (4πε0 k) * ∫(a→r) r^(-2-n) dr’

次に、電位V(r)をV1, V2, r, a, bの関数として表現します。電位V(r)は、rがaからbの範囲で変化する際の変化を含んでいます。最終的に、電位は次のように表されます。

V(r) = V1 + (V2 – V1) * (r – a) / (b – a)

最後に、r(a

電場Eが一定であるためには、誘電率ε(r)がr^(n+2)の逆数に比例する必要があります。したがって、ε(r)は次のように調整する必要があります。

ε(r) = k’ r^(n+2)

本記事では、半径aの導体球を内半径b、外半径cの導体球殻で包んだ系における電場と電位を求める方法について詳しく解説しました。電場の大きさと方向、電位の求め方、さらには電場を一定に保つための誘電率の調整方法までをステップごとに説明しました。

これらの問題を解くことで、電場と電位の理解が深まり、誘電率がどのように電場に影響を与えるかについての洞察が得られました。