高校数学II: 円と直線の位置関係に関する問題の解説

今回は、円と直線の位置関係についての問題を解説します。問題は、円x² + y² = 2と直線y = x + nの位置関係に関するもので、定数nの値または範囲を求める問題です。

円と直線の位置関係

円と直線の交点の位置関係を調べるために、まず円の方程式と直線の方程式を確認します。円は中心が(0,0)で半径が√2の円で、直線は傾きが1の直線です。

円と直線が接するためには、交点が1点だけである必要があります。これは、直線の方程式を円の方程式に代入して得られる2次方程式が1回の解を持つときです。解の公式を使って判別式が0になるnの値を求めます。

判別式が0になるとき、直線と円は1点で接します。これが接する場合の条件です。

円と直線が異なる2点で交わるためには、交点が2点である必要があります。これも、直線の方程式を円の方程式に代入して得られる2次方程式が異なる2つの解を持つときです。判別式が正であれば、2つの交点が得られます。

判別式が正である場合、直線と円は2点で交わります。この条件を満たすnの範囲を求めます。

まず、直線と円の方程式を代入して2次方程式を得て、判別式を求めます。その判別式に基づいて、nの値または範囲を求め、円と直線の位置関係を解説します。

この問題を解くことで、円と直線が接する条件、または交わる条件に関して、具体的な数値としてnの範囲を求める方法が理解できます。接する場合と交わる場合の計算方法をマスターすれば、類似の問題にも対応できます。

円と直線の位置関係を求める問題では、2次方程式と判別式を使って、交点の数や位置関係を明確にすることが重要です。接する場合と交わる場合の条件を理解し、解法を練習することで、数学IIの問題に対応できるようになります。