数列の和の求め方: a_n = 1/3 * (10^n - 1) の初項から第n項までの和

この問題では、数列 a_n = 1/3 * (10^n – 1) の初項から第n項までの和を求める方法を解説します。数列の和を求めるには、公式や既知の方法を適用することが必要です。ここでは、一般的な数列の和の計算方法を使って解いていきます。

問題の整理と数列の確認

与えられた数列の一般項は、a_n = 1/3 * (10^n – 1) です。この数列の初項から第n項までの和を求めます。

まず、数列の各項がどのようになっているかを確認します。例えば、n = 1 のとき、a_1 = 1/3 * (10^1 – 1) = 3となります。同様にn = 2, 3…と計算していくことができます。

数列の和を求めるためには、通常、次のような式を使います。

S_n = Σ a_n （n=1からnまでの各項の和）

これを適用するためには、a_nの式を使って求める必要があります。今回はa_n = 1/3 * (10^n – 1)なので、和は次のように表されます。

S_n = Σ [ 1/3 * (10^n – 1) ]

和を計算するために、Σ記号を展開します。

S_n = 1/3 * Σ (10^n – 1) （n=1からnまで）

これをさらに分解すると。

S_n = 1/3 * ( Σ 10^n – Σ 1 )

ここで、Σ 10^n は等比数列の和であり、Σ 1 は単純にn回の加算です。

Σ 10^nの部分は等比数列の和であり、等比数列の和の公式を使って計算できます。等比数列の和の公式は次の通りです。

Σ 10^n = (10^(n+1) – 10) / (10 – 1)

これをS_nの式に代入すると、最終的に求める和が得られます。

数列の和を求めるためには、与えられた数列の一般項を展開し、適切な公式を適用することが重要です。今回の問題では、数列の一般項を展開し、等比数列の和を使って最終的な結果を導きました。この方法を理解することで、様々な数列の和を効率的に求めることができます。