平方根を含む方程式を解くとき、まずは変数を整理し、解法のステップを順を追って進めることが重要です。今回の問題では、√(x+1) + 2 = x という方程式を解き、x の値を求める方法について解説します。
問題の整理と移項
まずは与えられた方程式を整理します。問題の方程式は、√(x+1) + 2 = x です。この式から、まずは移項を行い、平方根を含む部分を独立させます。移項すると、次のようになります。
√(x+1) = x – 2
これで、平方根を含む部分が独立した形になります。
両辺を2乗して解く
次に、この式の両辺を2乗します。平方根を解消するために、この操作を行います。
(√(x+1))² = (x-2)²
これを計算すると、左辺はx + 1、右辺はx² – 4x + 4となり、次の式が得られます。
x + 1 = x² – 4x + 4
この式を整理すると、次のようになります。
0 = x² – 5x + 3
解の公式を使った解法
ここで得られた二次方程式 x² – 5x + 3 = 0 を解の公式で解きます。解の公式は次のように表されます。
x = { -(-5) ± √((-5)² – 4 × 1 × 3) } / 2 × 1
これを計算すると。
x = {5 ± √(25 – 12)} / 2
x = {5 ± √13} / 2
解の確認と妥当性の検証
解の公式を用いて得られた解は、x = (5 + √13)/2 または x = (5 – √13)/2 です。しかし、元の式に戻って確認しないと、答えが妥当かどうかはわかりません。元の式 √(x+1) + 2 = x を満たす解が必要です。
まず、x = (5 + √13)/2 の場合、この解は正であり、元の式に代入しても問題なく成立します。
次に、x = (5 – √13)/2 の場合、この解は 2 より小さい値となり、√(x+1) の部分が負の値になるため、現実的ではありません。したがって、この解は不適切です。
最終的な解答
以上のように、問題の方程式 √(x+1) + 2 = x の解は、x = (5 + √13)/2 のみが妥当な解です。もう一つの解は現実的ではないため、最終的な答えはこの解であることが確認されました。
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