mod3を使った式の解法：2^m = n^2 + 3 の自然数解を求める方法

本記事では、数学の問題「2^m = n^2 + 3 を満たす自然数の組(m, n)を全て求めよ」について解説します。特にmod3を使用した式変形に重点を置き、問題を解くためのステップをわかりやすく説明します。

問題の整理とmod3の活用
2^m の mod3 での挙動
式の両辺をmod3で比較
具体的な解の求め方
まとめと結論

問題の整理とmod3の活用

問題の式「2^m = n^2 + 3」を満たす自然数 m と n を求めるためには、mod3を利用することで式を簡単にすることができます。まずは式をmod3で変形してみましょう。

式をmod3で考えると、2^mとn^2 + 3のそれぞれの項をmod3で評価します。まず、n^2 + 3をmod3で見てみましょう。n^2は、nがmod3で取る値に応じて、次のようになります。

n (mod 3)	n^2 (mod 3)
0	0
1	1
2	1

したがって、n^2 + 3はmod3で次のようになります。

n (mod 3)	n^2 + 3 (mod 3)
0	0 + 3 ≡ 0 (mod 3)
1	1 + 3 ≡ 1 (mod 3)
2	1 + 3 ≡ 1 (mod 3)

2^m の mod3 での挙動

次に、2^m のmod3での挙動を調べます。2のべき乗をmod3で考えると、以下のように周期的な挙動を示します。

m (mod 3)	2^m (mod 3)
0	1
1	2
2	1

したがって、2^mはmod3で周期的に1と2を繰り返します。

式の両辺をmod3で比較

式「2^m = n^2 + 3」をmod3で比較すると、次のようになります。

2^m ≡ 2 (mod 3) のとき、n^2 + 3 ≡ 2 (mod 3) となりますが、n^2 + 3はmod3で1しか取らないため、この場合は成立しません。
2^m ≡ 1 (mod 3) のとき、n^2 + 3 ≡ 1 (mod 3) となります。つまり、n^2 ≡ 1 (mod 3) となり、nはmod3で1か2のいずれかです。

具体的な解の求め方

次に、nがmod3で1か2のときに対応する自然数の解を求めます。まず、nがmod3で1または2であることがわかりました。次に、具体的な値を代入して確認していきます。

例えば、m = 2 の場合、2^2 = 4 で、n^2 + 3 = 4 となります。このとき、n^2 = 1 となるので、n = 1が解の一つです。さらに、m = 4の場合、2^4 = 16で、n^2 + 3 = 16となります。このとき、n^2 = 13となり、nは整数ではないため、解にはなりません。