バナッハ空間 lp (1 ≤ p < ∞) が可分であることの証明方法

バナッハ空間 lp (1 ≤ p < ∞) が可分であることを示す方法は、線形空間の基礎的な性質を利用したものです。この記事では、その証明をステップバイステップで解説し、どのように可分性が導かれるかを明確にします。

1. 可分空間の定義

まず、可分空間とは、空間内に可算個の要素を持つ稠密部分集合が存在する空間のことです。言い換えれば、任意の要素はその部分集合の極限で近似できるという性質を持ちます。

具体的には、バナッハ空間 lp が可分であることを証明するためには、lp 空間内に適当な稠密部分集合を構成し、その部分集合が空間全体を近似することを示さなければなりません。

2. lp 空間とは

lp 空間は、p-ノルムを用いて定義された空間です。ここで p は 1 ≦ p < ∞ という条件を満たします。lp 空間の典型的な要素は、実数または複素数の列で、次のように表されます。

x = (x₁, x₂, x₃, …) で、Σ|xᵢ|^p < ∞となる列です。

この空間は、通常のノルムによって距離を測ることができるバナッハ空間です。

3. lp 空間が可分であることの証明

lp 空間が可分であることを証明するためには、適当な部分集合が稠密であることを示します。そこで、実数または複素数の列の中で、有限の精度で近似可能な有理数の列を考えます。

具体的には、有限の多項式や有理数の列を含む部分集合を選ぶことで、任意の点をその部分集合の要素で近似できます。したがって、これらの部分集合は lp 空間内で稠密であり、これにより可分性が証明されます。

4. 具体例としての可分性の構成

具体的な構成として、lp 空間における有理数係数の列を考え、これらを基にした部分集合が稠密であることを確認する方法があります。例えば、各要素 xᵢ を有理数に近似し、各 p-ノルムでその誤差を十分小さくすることで、無限に続く列が lp 空間の元として近似できることが分かります。

まとめ

lp 空間が可分であることは、有限の精度で近似可能な部分集合を構成することで証明できます。実際に、有限の多項式や有理数の列が稠密部分集合となり、この部分集合が任意の点を近似することから、lp 空間は可分空間であることが示されます。数学的な構造を深く理解するためには、このような証明をしっかりと身につけることが重要です。