「0.999999… = 1」という式は一見すると不思議に思えますが、実際には数学的に正しいことが証明されています。この疑問について、なぜこの式が成り立つのか、そしてその背景にある数学的な理由をわかりやすく解説します。今回は、まだ極限の概念を学んでいない高2の方に向けて、基本的な理解から説明していきます。
0.999999… = 1とは？
まず、0.999999…というのは、無限に続く9の列を意味します。この無限の9が続く数が1と等しいというのは、一見理解しづらいかもしれません。ですが、実際にはこの無限の9の列は「1」と等しいとされています。
このことを理解するためには、数の「極限」という概念が重要です。極限を学ぶ前に、まずは直感的な説明をしましょう。例えば、0.9、0.99、0.999…という数列を考えたとき、これらはだんだん1に近づいていきます。無限に続く9が1にどんどん近づいていく様子を考えると、最終的に0.999999…は1と「等しい」と言えるわけです。
なぜ0.999999… = 1なのか
この疑問に対するもっと具体的な証明は、以下のように行います。
x = 0.999999...
ここで、xを0.999999…と定義します。次に、この式に10をかけます。
10x = 9.999999...
次に、元の式から新しい式を引きます。
10x - x = 9.999999... - 0.999999...
これを計算すると、
9x = 9
したがって、x = 1となります。つまり、0.999999…は1と等しいという結論になります。
極限を使わずに直感的に理解する方法
極限という概念を使うと、0.999999…が1に限りなく近づくことが証明できますが、直感的に理解する方法もあります。例えば、0.999999…という数は、1からわずかに「差」＝「0」がない状態で非常に近いものです。この差は無限小であるため、0.999999…と1はほぼ同じ数であると考えられます。
直感的には、0.999999…を1とするのが最も単純で合理的な考え方です。このように、無限に続く数字が実際には数値的に「1」と等しいという事実を理解することができます。
まとめ
0.999999… = 1という式は、極限を使わずとも直感的に理解でき、数式を使ってしっかり証明することもできます。無限に続く9がどれほど1に近づくかを考えると、最終的には等しいと納得できるでしょう。今後、極限や数列の理論を学ぶと、この問題をさらに深く理解できるようになります。
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