複素平面上の直線の方程式：zと￢zを用いた表現方法

今回は複素関数の問題に関して、複素平面上で2点を通る直線の方程式を、zとその共役である￢zを使って表現する方法を解説します。

問題設定

問題では、複素平面上に2点α＝1+iとβ＝2+2iが与えられています。この2点を通る直線の方程式をzと￢zを用いて求める問題です。

まず、直線の方程式を求めるためには、直線上の点zを一般的にz = x + iy（ここでx, yは実数）として考えます。次に、直線が与えられた2点αとβを通ることから、直線の傾きを求め、その後zと￢z（zの共役）を用いて方程式を導出します。

2点αとβを通る直線の方程式は次のように求められます。

まず、2点間の傾きmを計算します。

m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (2 – 1) / (2 – 1) = 1

次に、直線の方程式をy – y1 = m(x – x1)で表します。ここで、mは直線の傾き、(x1, y1)は点αの座標です。

y – 1 = 1(x – 1)

y = x

zとその共役である￢zを使って直線の方程式を表現するために、z = x + iyおよび￢z = x – iyを用います。この場合、x = yの関係から、zと￢zを用いて次のように直線の方程式を表現できます。

z – ￢z = 2iy = 0

これにより、直線の方程式はzとその共役を使って表現できます。

複素平面上で2点を通る直線の方程式をzとその共役である￢zを使って表す方法について解説しました。この方法を使うことで、複素数を用いた直線の方程式の表現が可能となります。問題に応じて、適切な手法を選んで解いていくことが重要です。