aと1/aの不等式の証明と成り立ちについて

数学の基本的な不等式に関する質問として、aと1/aの関係について考えてみましょう。特に、aが1より小さいとき、a<1/aが成り立つか、またaが1より大きいとき、a>1/aが成り立つかについて証明を行います。この不等式が成り立つことを確認するために、数学的な証明を順を追って見ていきます。

1. 不等式の前提条件

まず、aが正の実数であり、a≠0であることを前提とします。このとき、aと1/aの不等式を考えます。aが1より小さい場合、a<1/aとなり、aが1より大きい場合はa>1/aが成り立つことを証明します。

a<1のとき、aと1/aの大小関係が成り立つ理由を見ていきましょう。まず、a<1であれば、aが正である限り、aと1/aの関係は次のように示せます。

1. 0 < a < 1の場合、aを両辺に掛けると、0 < a² < aとなります。したがって、1/a > aとなり、a < 1/aが成り立つことが確認できます。

a>1の場合、aと1/aの不等式も同様に成り立つか確認します。この場合、a>1であるとき、aと1/aの大小関係は以下のように示されます。

1. a > 1の場合、a² > aとなりますので、1/a < aとなり、a > 1/aが成り立つことが確認できます。

aが1より小さいとき、a < 1/aが成り立ち、aが1より大きいときは、a > 1/aが成り立つことが確認できました。このように、aの値が1より小さいか大きいかによって、aと1/aの関係が変わります。