この問題では、自然数の組 (x, y) について、5x² + y² が 4 の倍数であるならば、x, y がともに偶数であることを証明する方法を解説します。方針をしっかりと理解することで、問題解決へのアプローチが明確になります。
問題の理解
問題の条件は、式 5x² + y² が 4 の倍数であることです。この式の値が 4 の倍数であるためには、x² と y² の両方が偶数でなければなりません。次に、x と y のどちらも偶数であることを証明する必要があります。
偶数と奇数の性質を使ったアプローチ
まず、x と y が偶数でない場合を考えます。もし x や y が奇数であれば、x² や y² は 1 に類似する余りになります。これを利用して、x² や y² の場合における余りを調べ、最終的に 5x² + y² が 4 の倍数になるためには x と y がともに偶数でなければならないことを証明できます。
解法のステップ
1. x または y が奇数の場合、x² や y² はそれぞれ奇数です。これらの奇数を加算することによって、得られる結果が 4 の倍数であることは不可能です。
2. x と y が偶数の場合、x² と y² はそれぞれ 4 の倍数となり、式 5x² + y² は必然的に 4 の倍数となります。
まとめ
このように、5x² + y² が 4 の倍数であるならば、x と y は必ず偶数である必要があることが証明されました。この証明のポイントは、偶数と奇数の性質を理解し、それらを式に適用することでした。最終的に、x と y がともに偶数であるという結論に至ります。
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