三角関数の合成とαの範囲についての解説

三角関数の合成に関する問題でよく見られる質問は、合成後の式でαの範囲がなぜπ/4 < α < π/2になるのかというものです。この記事では、この問題について解説し、なぜその範囲になるのかをわかりやすく説明します。

三角関数の合成とは？

三角関数の合成は、一般的にsinとcosの項を組み合わせて、単一の三角関数の形式に変換する作業です。たとえば、式「sin(θ) + 2cos(θ)」を合成することによって、新たな角度で表すことができます。このような合成は、三角関数の加法定理や倍角の公式を使って行います。

質問にあった「sin2x + 2cos2x」の合成を行うためには、まず振幅と位相を決定します。一般的な方法として、式をRsin(2x + α)の形式に変換します。この際、Rとαは以下のように求めることができます。

よって、合成後の式は「√5 * sin(2x + α)」となります。これが新しい三角関数の形式です。

αの範囲がπ/4 < α < π/2 になる理由は、tan(α) = 2であり、この値に対応する角度αが第一象限に位置するためです。具体的には、tan(α) = 2の場合、αは約1.107 radiansとなり、この角度はちょうどπ/4 < α < π/2 の範囲に収まります。

sin2x + 2cos2x の合成を行うと、新しい式は√5 * sin(2x + α) となります。このαはtan(α) = 2から求められる角度であり、その範囲はπ/4 < α < π/2です。合成後の式を理解することで、三角関数の動きや変換がより直感的に理解できるようになります。