3次方程式の因数定理の応用：整数でない因数の見つけ方

3次方程式を解く際、因数定理を使って解く方法がよくあります。しかし、時には因数に整数でない数が含まれていることもあります。このような場合、どうやって因数を見つけるのでしょうか？この記事では、具体例を使ってその方法を説明します。

因数定理とは？

因数定理は、多項式の因数を求める方法の一つです。具体的には、ある値を代入してその値が0になるとき、その値は方程式の解の一つであり、対応する因数が存在することがわかります。

例題の解法：6x³ + x² – 1

今回の例題は、6x³ + x² – 1という3次方程式です。この式を解くには、まず因数定理を使うことを考えます。一般的には、整数解を求めるために試行錯誤を繰り返し、因数を見つけます。

試しに、x = 1やx = -1などを代入してみましょう。もし、これらの値を代入して0になる場合、その値は方程式の解です。しかし、この場合、整数ではない解が出ることがわかります。では、どうやってその因数を見つけるのでしょうか？

有理数解の公式を使う方法

もし因数定理で見つからない場合は、有理数解の公式を使います。この公式では、係数が有理数の場合、その有理数の解は分数として求めることができます。

6x³ + x² – 1の場合、最初に考えられる有理数解は、p/qの形で求めます。ここでpは定数項、qは最高次の係数です。この場合、p = ±1、q = ±1, ±2, ±3, ±6 となります。

計算の具体例

実際に計算してみましょう。x = 1/3などを代入してみると、この値が方程式を満たすことがわかります。よって、x = 1/3は方程式の解であり、因数の一部です。

したがって、元の式を(x – 1/3)という因数で割ることで、解を求めることができます。計算を進めていくことで、残りの因数も求められます。

まとめ

整数でない因数を見つけるためには、試行錯誤と有理数解の公式を使う方法があります。実際に計算してみることで、難しい問題も解決できることがわかります。これからも因数定理を駆使して、さまざまな3次方程式を解いてみましょう。